Tuwrı múyeshli úshmúyeshlik

Tuwrı múyeshli $△ ABC$ úshmúyeshligi, onıń tuwrı múyeshi $C$ , gipotenuzası $c$ , al katetleri $a$ hám $b$ .

Tuwrı múyeshli úshmúyeshlik — eki tárepi perpendikulyar bolıp, tuwrı múyesh (1⁄4 aylanıw yamasa 90 gradus) payda etetuǵın úshmúyeshlik.

Tuwrı múyeshke qarsı jatqan tárep gipotenuza (súwrettegi $c$ tárepi) dep ataladı. Tuwrı múyesh penen hám qaptal jatqan tárepler katetler dep ataladı. $a$ tárepin $B$ múyeshine hám qaptal jatqan hám $A$ múyeshine qarsı jatqan tárep, al $b$ tárepin $A$ múyeshine hám qaptal jatqan hám $B$ múyeshine qarsı jatqan tárep retinde anıqlawǵa boladı.

Hár bir tuwrı múyeshli úshmúyeshlik óziniń diagonalı boyınsha bólinedi hám ol tuwrı tórtmúyeshliktiń yarımı bolıp tabıladı. Eger tuwrı tórtmúyeshlik kvadrat bolsa, onıń tuwrı múyeshli yarımı eki sáykes tárepi hám eki sáykes múyeshi bar teń qaptallı úshmúyeshlik boladı. Eger tuwrı tórtmúyeshlik kvadrat bolmasa, onıń tuwrı múyeshli yarımı hár túrli tárepli úshmúyeshlik boladı.

Tiykarı sheńberdiń diametri bolǵan hám tóbesi sheńberde jatatuǵın hár qanday úshmúyeshlik, tóbedegi tuwrı múyeshke hám gipotenuza retinde tikkelesken tiykarǵa iye tuwrı múyeshli úshmúyeshlik bolıp esaplanadı. Kerisinshe, hár qanday tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń sırtqı sızılǵan sheńberiniń diametri onıń gipotenuza menen sáykes keledi. Bul Fales teoreması.

Tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń katetleri menen gipotenuzası Pifagor teoremasına sáykes keledi: eki katetindegi kvadratlardıń maydanlarınıń qosındısı gipotenuza maydanındaǵı kvadratınıń maydanına teń: $a^{2}+b^{2}=c^{2}.$ Eger tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń úsh tárepiniń de uzınlıqları pútin sanlar bolsa, bul úshmúyeshlik Pifagor úshmúyeshligi dep ataladı, al onıń tárepleriniń uzınlıqları jıynalǵan halda Pifagor úshligi dep ataladı.

Tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń tárepleri menen múyeshleri arasındaǵı qatnaslar, uzınlıqlar menen múyeshler arasındaǵı metrikalıq qatnaslardı úyreniwshi trigonometriyanı anıqlawdıń hám túsiniwdiń bir usılın beredi.

Tiykarǵı qásiyetleri

Tárepleri

Baslı maqala: Pifagor teoreması

Tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń úsh tárepi Pifagor teoreması arqalı baylanısqan, ol zamanagóy algebraik belgilewde tómendegishe jazılıwı múmkin: $a^{2}+b^{2}=c^{2},$ bul jerde $c$ — gipotenuza (tuwrı múyeshke qarsı jatqan tárep) uzınlıǵı, al $a$ hám $b$ — katetlerdiń (qalǵan eki táreptiń) uzınlıqları. Bul teorema áyyemgi dáwirlerde dálillengen hám Evklidtiń «Baslamalar»ındaǵı I.47-tastıyıqlawı bolıp tabıladı: «Tuwrı múyeshli úshmúyeshliklerde tuwrı múyeshti tartıp turǵan táreptegi kvadrat tuwrı múyeshti quraytuǵın táreplerdegi kvadratlarǵa teń»^[1]. Bul teńlemeni qanaatlandıratuǵın ⁠ $a$ ⁠, ⁠ $b$ ⁠ hám ⁠ $c$ ⁠ pútin sanları Pifagor úshligi dep ataladı. Qurılıs hám jer ólshew sıyaqlı ámeliy qollanıwlarda, múyeshtiń dál 90 gradus ekenligin támiyinlew ushın bul qatnas jiyi 3-4-5 qaǵıydasın paydalanıw arqalı qollanıladı.

Maydanı

Hár qanday úshmúyeshliktegi sıyaqlı, onıń maydanı tiykarı menen oǵan sáykes biyikliginiń kóbeymesin ekige bólgenge (yarımına) teń. Tuwrı múyeshli úshmúyeshlikte, eger bir kateti tiykarı retinde alınsa, onda ekinshisi biyiklik boladı, sonlıqtan tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń maydanı eki katetiniń kóbeymesiniń yarımına teń. Formula retinde $T$ maydanı:

T={\tfrac {1}{2}}ab

bul jerde $a$ hám $b$ — úshmúyeshliktiń katetleri.

Eger ishki sızılǵan sheńber $AB$ gipotenuzaǵa $P,$ noqatında janassa, onda yarım perimetrdi $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),$ dep alsaq, bizde $|PA|=s-a$ hám $|PB|=s-b,$ boladı hám maydanı tómendegishe beriledi:

T=|PA|\cdot |PB|=(s-a)(s-b).

Bul formula tek tuwrı múyeshli úshmúyeshliklerge ǵana qollanıladı^[2].

Biyiklikleri

Tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń $f$ biyikligi

Eger tuwrı múyeshli tóbesinen gipotenuzaǵa shekem biyiklik túsirilse, onda úshmúyeshlik eki kishkene úshmúyeshlikke bólinedi; olardıń ekewi de dáslepki úshmúyeshlikke uqsas boladı hám sol sebepli bir-birine de uqsas boladı. Bunnan:

Gipotenuzadaǵı biyiklik — gipotenuzanıń eki kesindisiniń geometriyalıq ortashası (ortasha proporsionalı) bolıp tabıladı^[3]^{: pp. 216–217}.
Úshmúyeshliktiń hár bir kateti gipotenuza menen sol katetke hám qaptal jatqan gipotenuza kesindisiniń ortasha proporsionalı bolıp tabıladı.

Teńlemelerde,

f^{2}=de,

(bul geyde Tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń biyikligi haqqındaǵı teorema dep ataladı)

b^{2}=ce,

a^{2}=cd

bul jerde $a,b,c,d,e,f$ — sızılmada kórsetilgenindey^[4]. Sonlıqtan:

f={\frac {ab}{c}}.

Bunnan tısqarı, gipotenuzaǵa túsirilgen biyiklik tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń katetleri menen tómendegishe baylanısqan^[5]^[6]:

{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.

Bul teńlemeniń $a,b,c,f,$ pútin mánislerindegi sheshimlerin usı jerden kóriwińizge boladı.

Hár qanday katetten túsirilgen biyiklik ekinshi katet penen sáykes keledi. Olar tuwrı múyeshli tóbede kesiliskenligi sebepli, tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń ortocentri — onıń úsh biyikliginiń kesilisiw noqatı — tuwrı múyeshli tóbe menen sáykes keledi.

Ishki hám sırtqı radiusları

Katetleri $a$ hám $b$ , al gipotenuzası $c$ bolǵan tuwrı múyeshli úshmúyeshlikke ishki sızılǵan sheńberdiń radiusı tómendegige teń:

r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.

Fales teoremasına sáykes, gipotenuza sırtqı sızılǵan sheńberdiń diametri bolıp tabıladı, sonlıqtan sırtqı sızılǵan sheńberdiń radiusı gipotenuza uzınlıǵınıń yarımına teń:

R={\frac {c}{2}}.

Sonlıqtan, sırtqı radius penen ishki radiustıń qosındısı katetler qosındısınıń yarımına teń^[7]:

R+r={\frac {a+b}{2}}.

Katetlerdiń birin ishki radius hám ekinshi katet arqalı tómendegishe ańlatıw múmkin:

a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.

Xarakteristikaları

Tárepleri $a\leq b<c$ , yarım perimetri ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ , maydanı $T,$ eń uzın tárepine qarsı jatqan biyikligi $h_{c}$ , sırtqı sızılǵan sheńber radiusı $R,$ ishki sızılǵan sheńber radiusı $r,$ sáykes túrde $a,b,c$ táreplerine janasatuǵın eksradiusları (sırtqı sheńber radiusları) $r_{a},r_{b},r_{c}$ hám medianaları $m_{a},m_{b},m_{c}$ bolǵan $\triangle ABC$ úshmúyeshligi tómendegi altı kategoriyadaǵı tastıyıqlawlardıń hár qanday biri orınlanǵan jaǵdayda ǵana tuwrı múyeshli úshmúyeshlik bolıp esaplanadı (zárúr hám jetkilikli shárt). Solay etip, olardıń hár biri hár qanday tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń qásiyeti bolıp tabıladı.

Tárepleri hám yarım perimetri

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{Pifagor teoreması}})$
$(s-a)(s-b)=s(s-c)$
$s=2R+r.$ ^[8]
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.$ ^[9]

Múyeshleri

$A$ hám $B$ múyeshleri tolıqtırıwshı boladı^[10].
$\cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.$ ^[9]^[11]
$\sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.$ ^[9]^[11]
$\cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.$ ^[11]
$\sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.$

Maydanı

$T={\frac {ab}{2}}$
$T=r_{a}r_{b}=rr_{c}$
$T=r(2R+r)$
$T={\frac {(2s-c)^{2}-c^{2}}{4}}=s(s-c)$
$T=|PA|\cdot |PB|,$ bul jerde $P$ — eń uzın $AB.$ tárepindegi ishki sızılǵan sheńberdiń janasıw noqatı^[12]

Ishki radius hám eksradiuslar

$r=s-c=(a+b-c)/2$
$r_{a}=s-b=(a-b+c)/2$
$r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2$
$r_{c}=s=(a+b+c)/2$
$r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c$
$r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.$ ^[13]

Biyikligi hám medianaları

$h_{c}={\frac {ab}{c}}$
$m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.$ ^[7]^{: Prob. 954, p. 26}
Medianalardıń biriniń uzınlıǵı sırtqı sızılǵan sheńber radiusına teń.
Eń qısqa biyiklik (eń úlken múyeshli tóbeden túsirilgen biyiklik) ózi túsirilgen qarsı (eń uzın) táreptiń bólekleriniń geometriyalıq ortashası bolıp tabıladı. Bul tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń biyikligi haqqındaǵı teorema.

Sırtqı hám ishki sızılǵan sheńberler

Úshmúyeshlik yarım sheńberge ishki sızılıwı múmkin, bunda onıń bir tárepi diametr menen tolıq sáykes keledi (Fales teoreması).
Sırtqı sızılǵan sheńber orayı eń uzın táreptiń ortası bolıp tabıladı.
Eń uzın tárep sırtqı sızılǵan sheńberdiń diametri bolıp tabıladı $(c=2R).$
Sırtqı sızılǵan sheńber toǵız noqat sheńberine janasadı^[9].
Ortocentr sırtqı sızılǵan sheńberde jatadı^[7].
Ishki sızılǵan sheńber orayı hám ortocentr arasındaǵı aralıq ${\sqrt {2}}r$ ge teń^[7].

Trigonometriyalıq qatnaslar

Baslı maqala: Trigonometriyalıq funkciyalar – Tuwrı múyeshli úshmúyeshliktegi anıqlamalar

Súyir múyeshler ushın trigonometriyalıq funkciyalar tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń tárepleriniń qatnası retinde anıqlanıwı múmkin. Berilgen múyesh ushın usı múyeshti óz ishine alǵan tuwrı múyeshli úshmúyeshlik quriw múmkin hám onıń táreplerin joqarıdaǵı anıqlamalarǵa sáykes usı múyeshke qarsı jatqan katet, hám qaptal jatqan katet hám gipotenuza dep atawǵa boladı. Táreplerdiń bul qatnasları tańlanǵan anıq tuwrı múyeshli úshmúyeshlikke emes, al tek ǵana berilgen múyeshke baylanıslı boladı, sebebi bul usılda qurılǵan barlıq úshmúyeshlikler bir-birine uqsas boladı. Eger berilgen $\alpha$ múyeshi ushın qarsı jatqan katet, hám qaptal jatqan katet hám gipotenuza sáykes túrde $O,$ $A,$ hám $H,$ dep belgilense, onda trigonometriyalıq funkciyalar tómendegishe boladı:

\sin \alpha ={\frac {O}{H}},\,\cos \alpha ={\frac {A}{H}},\,\tan \alpha ={\frac {O}{A}},\,\sec \alpha ={\frac {H}{A}},\,\cot \alpha ={\frac {A}{O}},\,\csc \alpha ={\frac {H}{O}}.

Giperbolalıq funkciyalardı tuwrı múyeshli úshmúyeshlik tárepleriniń qatnası retinde ańlatıw ushın giperbolalıq sektordıń giperbolalıq úshmúyeshligin kóriń.

Arnawlı tuwrı múyeshli úshmúyeshlikler

Baslı maqala: Arnawlı tuwrı múyeshli úshmúyeshlikler

Trigonometriyalıq funkciyalardıń mánislerin geybir múyeshler ushın arnawlı múyeshleri bar tuwrı múyeshli úshmúyeshliklerdi paydalanıw arqalı anıq esaplaw múmkin. Olarǵa trigonometriyalıq funkciyalardı ${\tfrac {1}{6}}\pi ,$ ge eseli hár qanday múyesh ushın esaplawǵa múmkinshilik beretuǵın 30-60-90 úshmúyeshligi hám trigonometriyalıq funkciyalardı ${\tfrac {1}{4}}\pi .$ ge eseli hár qanday múyesh ushın esaplawǵa bolatuǵın teń qaptallı tuwrı múyeshli úshmúyeshlik yamasa 45-45-90 úshmúyeshligi kiredi.

Kepler úshmúyeshligi

$H,$ $G,$ hám $A$ sáykes túrde $a>b.$ bolǵan eki oń $a$ hám $b$ sanlarınıń garmonikalıq ortashası, geometriyalıq ortashası hám arifmetikalıq ortashası bolsın. Eger tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń katetleri $H$ hám $G$ al gipotenuzası $A,$ bolsa, onda^[14]:

{\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi ,\qquad {\frac {a}{b}}=\phi ^{3},

bul jerde $\phi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}$ — altın qatnas bolıp tabıladı. Bul tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń tárepleri geometriyalıq progressiya quraǵanlıǵı sebepli, bul Kepler úshmúyeshligi dep ataladı.

Qosımsha qarań

Súyir hám doǵal múyeshli úshmúyeshlikler (qıya úshmúyeshlikler)
Teodor spiralı
Úsh tuwrı múyeshli sferalıq úshmúyeshlik

Derekler

↑ Artmann, Benno (2012) [1999], [[[:Úlgi:Google books]] Euclid: The Creation of Mathematics], 4-bet, doi:10.1007/978-1-4612-1412-0, ISBN 978-1-4612-1412-0 {{citation}}: Check |url= value (járdem); Unknown parameter |publisher= ignored (járdem).
↑ Di Domenico, Angelo S., "A property of triangles involving area", Mathematical Gazette 87, July 2003, pp. 323–324.
↑ Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.
↑ Wentworth p. 156
↑ Voles, Roger, "Integer solutions of $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.
↑ Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–317.
1 2 3 4 Inequalities proposed in "Crux Mathematicorum", .
↑ «Triangle right iff s = 2R + r, Art of problem solving, 2011». 2014-jıl 28-aprel sánesinde túp nusqadan arxivlendi. Qaraldı: 2012-jıl 2-yanvar.
1 2 3 4 Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109–110.
↑ «Properties of Right Triangles». 2011-jıl 31-dekabr sánesinde túp nusqadan arxivlendi. Qaraldı: 2012-jıl 15-fevral.
1 2 3 CTK Wiki Math, A Variant of the Pythagorean Theorem, 2011, 2013-08-05 sánesinde Wayback Machine saytında arxivlendi..
↑ Darvasi, Gyula (March 2005), „Converse of a Property of Right Triangles“, The Mathematical Gazette, 89 (514): 72–76, doi:10.1017/S0025557200176806, S2CID 125992270.
↑ Bell, Amy (2006), „Hansen's Right Triangle Theorem, Its Converse and a Generalization“ (PDF), Forum Geometricorum, 6: 335–342, 2008-07-25da túp nusqadan arxivlendi (PDF)
↑ Di Domenico, A., "The golden ratio — the right triangle — and the arithmetic, geometric, and harmonic means," Mathematical Gazette 89, July 2005, 261. Also Mitchell, Douglas W., "Feedback on 89.41", vol 90, March 2006, 153–154.

Sırtqı siltemeler

Úlgi:Kópmúyeshlikler

[1] Artmann, Benno (2012) [1999], [[[:Úlgi:Google books]] Euclid: The Creation of Mathematics], 4-bet, doi:10.1007/978-1-4612-1412-0, ISBN 978-1-4612-1412-0 {{citation}}: Check |url= value (járdem); Unknown parameter |publisher= ignored (járdem).

[2] Di Domenico, Angelo S., "A property of triangles involving area", Mathematical Gazette 87, July 2003, pp. 323–324.

[Posamentier-3] Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.

[4] Wentworth p. 156

[5] Voles, Roger, "Integer solutions of $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.

[6] Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–317.

[Crux-7] 1 2 3 4 Inequalities proposed in "Crux Mathematicorum", .

[8] «Triangle right iff s = 2R + r, Art of problem solving, 2011». 2014-jıl 28-aprel sánesinde túp nusqadan arxivlendi. Qaraldı: 2012-jıl 2-yanvar.

[Andreescu-9] 1 2 3 4 Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109–110.

[10] «Properties of Right Triangles». 2011-jıl 31-dekabr sánesinde túp nusqadan arxivlendi. Qaraldı: 2012-jıl 15-fevral.

[CTK-11] 1 2 3 CTK Wiki Math, A Variant of the Pythagorean Theorem, 2011, 2013-08-05 sánesinde Wayback Machine saytında arxivlendi..

[12] Darvasi, Gyula (March 2005), „Converse of a Property of Right Triangles“, The Mathematical Gazette, 89 (514): 72–76, doi:10.1017/S0025557200176806, S2CID 125992270.

[Bell-13] Bell, Amy (2006), „Hansen's Right Triangle Theorem, Its Converse and a Generalization“ (PDF), Forum Geometricorum, 6: 335–342, 2008-07-25da túp nusqadan arxivlendi (PDF)

[14] Di Domenico, A., "The golden ratio — the right triangle — and the arithmetic, geometric, and harmonic means," Mathematical Gazette 89, July 2005, 261. Also Mitchell, Douglas W., "Feedback on 89.41", vol 90, March 2006, 153–154.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]